与えられた置換の符号（sgn）を計算する問題です。具体的には、以下の3つの置換の符号を求めます。 (5) $sgn\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (6) $sgn\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ (7) $sgn\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換の符号（sgn）を計算する問題です。具体的には、以下の3つの置換の符号を求めます。

(5) $sgn\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(6) $sgn\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(7) $sgn\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

置換の符号は、互換の積で表したときの互換の個数が偶数なら1、奇数なら-1となります。または、転倒数を数え、転倒数が偶数なら1、奇数なら-1となります。

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ について:

これは巡回置換(1 3 2)です。互換で表すと(1 3)(3 2)のように2つの互換の積で表せるので、符号は1です。

転倒数は、(3,1), (3,2)の2つなので、符号は1です。

(6) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ について:

これは、1→1, 2→4, 3→2, 4→3という置換です。巡回置換で表すと(2 4 3)となります。互換で表すと(2 4)(4 3)のように2つの互換の積で表せるので、符号は1です。

転倒数は、(4,2), (4,3)の2つなので、符号は1です。

(7) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ について:

これは、1→4, 2→3, 3→1, 4→2という置換です。巡回置換で表すと(1 4 2 3)となります。互換で表すと(1 4)(4 2)(2 3)のように3つの互換の積で表せるので、符号は-1です。

転倒数は、(4,3), (4,1), (4,2), (3,1), (3,2)の5つなので、符号は-1です。

3. 最終的な答え

(5) 1

(6) 1

(7) -1