$x = 4 + \sqrt{5}$ のとき、式 $x^2 - 5x + 4$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = 4 + \sqrt{5}$ のとき、式 $x^2 - 5x + 4$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 5x + 4$ を因数分解します。

$x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$

次に、$x = 4 + \sqrt{5}$ を代入します。

$x-1 = (4 + \sqrt{5}) - 1 = 3 + \sqrt{5}$

$x-4 = (4 + \sqrt{5}) - 4 = \sqrt{5}$

したがって、

$(x-1)(x-4) = (3 + \sqrt{5})(\sqrt{5})$

$= 3\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2$

$= 3\sqrt{5} + 5$

$= 5 + 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$5 + 3\sqrt{5}$