放物線 $y = -x^2 + 2ax - 8$ を $C$ とする。ただし、$a > 0$ である。以下の問いに答えよ。 (1) 放物線 $C$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求めよ。 (2) 放物線 $C$ の頂点が放物線 $y = 2x^2 + x - 10$ 上にあるときの $a$ の値を求めよ。 (3) 放物線 $C$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さが $2$ であるときの $a$ の値を求めよ。 (4) $2a - 1 \le x \le 2a + 1$ において、$y = -x^2 + 2ax - 8$ は $x = p$ のときに最大値 $M$ をとるとする。 (1) $M = 1$ のとき、$a$ の値と、$y$ の最小値を求めよ。 (2) $p, M$ がともに素数となるような $a$ の値の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2ax - 8$ を $C$ とする。ただし、$a > 0$ である。以下の問いに答えよ。

(1) 放物線 $C$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求めよ。

(2) 放物線 $C$ の頂点が放物線 $y = 2x^2 + x - 10$ 上にあるときの $a$ の値を求めよ。

(3) 放物線 $C$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さが $2$ であるときの $a$ の値を求めよ。

(4) $2a - 1 \le x \le 2a + 1$ において、$y = -x^2 + 2ax - 8$ は $x = p$ のときに最大値 $M$ をとるとする。

(1) $M = 1$ のとき、$a$ の値と、$y$ の最小値を求めよ。

(2) $p, M$ がともに素数となるような $a$ の値の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $C$ が $x$ 軸と接するとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D/4 = a^2 - (-1)(-8) = a^2 - 8 = 0$

$a^2 = 8$

$a = \pm 2\sqrt{2}$

$a > 0$ より、$a = 2\sqrt{2}$

(2) 放物線 $C$ の頂点の $x$ 座標は $x = -\frac{2a}{2(-1)} = a$ である。

頂点の $y$ 座標は $y = -a^2 + 2a(a) - 8 = a^2 - 8$ である。

頂点 $(a, a^2 - 8)$ が $y = 2x^2 + x - 10$ 上にあるので、

$a^2 - 8 = 2a^2 + a - 10$

$0 = a^2 + a - 2$

$0 = (a + 2)(a - 1)$

$a = -2, 1$

$a > 0$ より、$a = 1$

(3) 放物線 $C$ と $x$ 軸の交点を求める。

$-x^2 + 2ax - 8 = 0$

$x^2 - 2ax + 8 = 0$

$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 32}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 - 8}$

切り取る線分の長さが $2$ であるので、

$(a + \sqrt{a^2 - 8}) - (a - \sqrt{a^2 - 8}) = 2$

$2\sqrt{a^2 - 8} = 2$

$\sqrt{a^2 - 8} = 1$

$a^2 - 8 = 1$

$a^2 = 9$

$a = \pm 3$

$a > 0$ より、$a = 3$

(4) $y = -x^2 + 2ax - 8$ について、$2a-1 \le x \le 2a+1$ の範囲での最大値を考える。

$y = -(x - a)^2 + a^2 - 8$

軸は $x = a$ なので、$2a - 1 \le a \le 2a + 1$ を満たしている。

最大値 $M = a^2 - 8$

(1) $M = 1$ のとき、$a^2 - 8 = 1$ より、$a^2 = 9$

$a = \pm 3$

$a > 0$ より、$a = 3$

$2a - 1 = 5$, $2a + 1 = 7$

$y = -x^2 + 6x - 8$

$y = -(x - 3)^2 + 1$

$x = 5$ のとき、$y = -4 + 1 = -3$

$x = 7$ のとき、$y = -16 + 1 = -15$

最小値は $-15$ である。

(2) $M = a^2 - 8$ である。

$p = a$ のとき $2a-1 \le a \le 2a+1$ なので、$M = a^2 - 8$ が素数、$a$も素数となるような最小の$a$を求める。$a>0$より$a=2,3,5,7,...$

$a=3$ のとき $M=9-8=1$ (素数ではない)

$a=5$ のとき $M=25-8=17$ (素数)

$a=5, M=17$ はともに素数なので、$a=5$ が条件を満たす。

3. 最終的な答え

7: イ. $2\sqrt{2}$

8: ア. 1

9: イ. 3

10: ア. 3

11: ア. -15

12: ア. 5