与えられた次の5つの二次関数のグラフの軸と頂点を求めます。 (1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ (2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$ (3) $y = 2x^2 - 3x - 2$ (4) $y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x$ (5) $y = (2x + 1)(1 - x)$

はい、承知いたしました。問題文に記載されている５つの２次関数について、グラフの軸と頂点を求める問題ですね。

1. 問題の内容

与えられた次の5つの二次関数のグラフの軸と頂点を求めます。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$

(2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

(3) $y = 2x^2 - 3x - 2$

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x$

(5) $y = (2x + 1)(1 - x)$

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成の形に変形し、$y = a(x - p)^2 + q$の形にします。

このとき、軸は$x = p$、頂点は$(p, q)$となります。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9 - 9)$

$y = \frac{1}{2}((x + 3)^2 - 9)$

$y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - \frac{9}{2}$

軸: $x = -3$, 頂点: $(-3, -\frac{9}{2})$

(2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}((x - 2)^2 - 4) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 2$

軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 2)$

(3) $y = 2x^2 - 3x - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) - 2$

$y = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

軸: $x = \frac{3}{4}$, 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + \frac{1}{2}x)$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16})$

$y = -\frac{1}{2}((x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16})$

$y = -\frac{1}{2}(x + \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{32}$

軸: $x = -\frac{1}{4}$, 頂点: $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{32})$

(5) $y = (2x + 1)(1 - x)$

$y = 2x - 2x^2 + 1 - x$

$y = -2x^2 + x + 1$

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 1$

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) + 1$

$y = -2((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) + 1$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 1$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}$

軸: $x = \frac{1}{4}$, 頂点: $(\frac{1}{4}, \frac{9}{8})$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = -3$, 頂点: $(-3, -\frac{9}{2})$

(2) 軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 2)$

(3) 軸: $x = \frac{3}{4}$, 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

(4) 軸: $x = -\frac{1}{4}$, 頂点: $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{32})$

(5) 軸: $x = \frac{1}{4}$, 頂点: $(\frac{1}{4}, \frac{9}{8})$