2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 - 2a - 1 = 0$ について、次の条件を満たす定数 $a$ の範囲を求める問題です。 (1) 解が $-2 < x < 0$ と $0 < x < 2$ の範囲にそれぞれ1つずつ存在する。 (2) 異なる2つの実数解が $-2 < x < 2$ の範囲に存在する。 答えは選択肢から選びます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 - 2a - 1 = 0$ について、次の条件を満たす定数 $a$ の範囲を求める問題です。

(1) 解が $-2 < x < 0$ と $0 < x < 2$ の範囲にそれぞれ1つずつ存在する。

(2) 異なる2つの実数解が $-2 < x < 2$ の範囲に存在する。

答えは選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a - 1$ とおきます。

解が $-2 < x < 0$ と $0 < x < 2$ の範囲にそれぞれ1つずつ存在するためには、次の条件を満たす必要があります。

$f(-2) > 0$ かつ $f(0) < 0$ かつ $f(2) > 0$

$f(-2) = (-2)^2 - 2a(-2) + a^2 - 2a - 1 = 4 + 4a + a^2 - 2a - 1 = a^2 + 2a + 3 > 0$

これは常に成り立ちます。

$f(0) = a^2 - 2a - 1 < 0$

$a^2 - 2a - 1 = 0$ を解くと、 $a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、 $1 - \sqrt{2} < a < 1 + \sqrt{2}$

$f(2) = (2)^2 - 2a(2) + a^2 - 2a - 1 = 4 - 4a + a^2 - 2a - 1 = a^2 - 6a + 3 > 0$

$a^2 - 6a + 3 = 0$ を解くと、$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

したがって、$a < 3 - \sqrt{6}$ または $a > 3 + \sqrt{6}$

$1 - \sqrt{2} \approx -0.414$、 $1 + \sqrt{2} \approx 2.414$、 $3 - \sqrt{6} \approx 0.55$、 $3 + \sqrt{6} \approx 5.45$

よって、$1 - \sqrt{2} < a < 3 - \sqrt{6}$

したがって、選択肢の2番が該当します。

(2)

異なる2つの実数解が $-2 < x < 2$ の範囲に存在するためには、次の条件を満たす必要があります。

$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a - 1$

判別式 $D = (-2a)^2 - 4(a^2 - 2a - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 8a + 4 = 8a + 4 > 0$

$8a > -4$ より $a > -\frac{1}{2}$

軸 $x = a$ について、 $-2 < a < 2$

$f(-2) > 0$ かつ $f(2) > 0$

$f(-2) = a^2 + 2a + 3 > 0$ は常に成立。

$f(2) = a^2 - 6a + 3 > 0$

$a < 3 - \sqrt{6}$ または $a > 3 + \sqrt{6}$

したがって、$-\frac{1}{2} < a < 3 - \sqrt{6}$

選択肢の3番が該当します。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3