問題13-1では、2つの行列AとBの固有値を求めます。 (1) $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 問題13-2では、問題13-1(1)で求めた行列Aの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

代数学線形代数固有値固有ベクトル行列
2025/7/31
はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題13-1では、2つの行列AとBの固有値を求めます。
(1) A=(3113)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
(2) B=(303010303)B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}
問題13-2では、問題13-1(1)で求めた行列Aの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

まず問題13-1(1)の行列Aの固有値を求めます。
固有方程式 AλI=0|A - \lambda I| = 0 を解きます。ここで、IIは単位行列です。
AλI=(3λ113λ)A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix}
AλI=(3λ)21=λ26λ+91=λ26λ+8=(λ4)(λ2)=0|A - \lambda I| = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 4)(\lambda - 2) = 0
したがって、固有値は λ1=4\lambda_1 = 4λ2=2\lambda_2 = 2 です。
次に、問題13-1(2)の行列Bの固有値を求めます。
固有方程式 BλI=0|B - \lambda I| = 0 を解きます。
BλI=(3λ0301λ0303λ)B - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}
BλI=(1λ)((3λ)29)=(1λ)(λ26λ+99)=(1λ)(λ26λ)=(1λ)λ(λ6)=0|B - \lambda I| = (1-\lambda)((3-\lambda)^2 - 9) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 9 - 9) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda) = (1-\lambda)\lambda(\lambda - 6) = 0
したがって、固有値は λ1=1\lambda_1 = 1, λ2=0\lambda_2 = 0, λ3=6\lambda_3 = 6 です。
次に、問題13-2で、行列Aの固有値に対する固有ベクトルを求めます。
まず、固有値 λ1=4\lambda_1 = 4 に対する固有ベクトルを求めます。
(A4I)v1=0(A - 4I)v_1 = 0 を解きます。
(1111)(xy)=(00)\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
x+y=0-x + y = 0 より、x=yx = y です。
したがって、固有ベクトルは v1=(11)v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} (またはその定数倍) です。
次に、固有値 λ2=2\lambda_2 = 2 に対する固有ベクトルを求めます。
(A2I)v2=0(A - 2I)v_2 = 0 を解きます。
(1111)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
x+y=0x + y = 0 より、y=xy = -x です。
したがって、固有ベクトルは v2=(11)v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} (またはその定数倍) です。

3. 最終的な答え

問題13-1
(1) 行列Aの固有値: λ1=4\lambda_1 = 4, λ2=2\lambda_2 = 2
(2) 行列Bの固有値: λ1=1\lambda_1 = 1, λ2=0\lambda_2 = 0, λ3=6\lambda_3 = 6
問題13-2
行列Aの固有値4に対する固有ベクトル: v1=(11)v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} (またはその定数倍)
行列Aの固有値2に対する固有ベクトル: v2=(11)v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} (またはその定数倍)

「代数学」の関連問題

与えられた多項式 $x^3y + 3x^3 - 8y^3 - 9x^3 - 4y^3 - 5x^3y$ の同類項をまとめ、多項式の次数を求める。

多項式同類項次数
2025/7/31

単項式 $3x^2y$ の係数と次数、および、文字 $x$ と $y$ に着目したときの係数と次数を求める問題です。

単項式係数次数多項式
2025/7/31

与えられた方程式 $x^5 + 8x^3 - 9x = 0$ を解く問題です。

方程式多項式因数分解虚数二次方程式
2025/7/31

与えられた式 $(2x + y + 1)^2 - 2(2x + y + 1) - 3$ を因数分解します。

因数分解多項式展開
2025/7/31

与えられた式 $3ax^3 + 15ax^2 + 18ax$ を因数分解し、選択肢の中から正しいものを選びます。

因数分解多項式共通因数二次方程式
2025/7/31

不等式 $x-3 \ge \frac{2x}{x-2}$ を解く。

不等式分数不等式場合分け二次不等式
2025/7/31

不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解きます。

不等式分数不等式場合分け
2025/7/31

2次方程式 $x^2 + 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めます。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha...

二次方程式解と係数の関係式の計算
2025/7/31

与えられた多項式 $x^2 - 3y^2 - 4xy + 5x - y + 7$ を、まず $x$ について降べきの順に整理し、次に $y$ について降べきの順に整理する問題です。

多項式降べきの順式の整理
2025/7/31

$y$軸と直線 $y = -1$ を漸近線とし、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表す問題です。

双曲線漸近線分数関数
2025/7/31