まず問題13-1(1)の行列Aの固有値を求めます。
固有方程式 ∣A−λI∣=0 を解きます。ここで、Iは単位行列です。 A−λI=(3−λ113−λ) ∣A−λI∣=(3−λ)2−1=λ2−6λ+9−1=λ2−6λ+8=(λ−4)(λ−2)=0 したがって、固有値は λ1=4 と λ2=2 です。 次に、問題13-1(2)の行列Bの固有値を求めます。
固有方程式 ∣B−λI∣=0 を解きます。 B−λI=3−λ0301−λ0303−λ ∣B−λI∣=(1−λ)((3−λ)2−9)=(1−λ)(λ2−6λ+9−9)=(1−λ)(λ2−6λ)=(1−λ)λ(λ−6)=0 したがって、固有値は λ1=1, λ2=0, λ3=6 です。 次に、問題13-2で、行列Aの固有値に対する固有ベクトルを求めます。
まず、固有値 λ1=4 に対する固有ベクトルを求めます。 (A−4I)v1=0 を解きます。 (−111−1)(xy)=(00) −x+y=0 より、x=y です。 したがって、固有ベクトルは v1=(11) (またはその定数倍) です。 次に、固有値 λ2=2 に対する固有ベクトルを求めます。 (A−2I)v2=0 を解きます。 (1111)(xy)=(00) x+y=0 より、y=−x です。 したがって、固有ベクトルは v2=(1−1) (またはその定数倍) です。