与えられた不等式 $-\frac{1}{2} < \frac{1}{4}n + \frac{2}{3} < 1$ を満たす整数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-\frac{1}{2} < \frac{1}{4}n + \frac{2}{3} < 1$ を満たす整数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $\displaystyle -\frac{1}{2} < \frac{1}{4}n + \frac{2}{3} < 1$ を整理します。

各辺から $\frac{2}{3}$ を引きます。

$-\frac{1}{2} - \frac{2}{3} < \frac{1}{4}n < 1 - \frac{2}{3}$

$-\frac{3}{6} - \frac{4}{6} < \frac{1}{4}n < \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$-\frac{7}{6} < \frac{1}{4}n < \frac{1}{3}$

次に、各辺に4を掛けます。

$4 \times (-\frac{7}{6}) < 4 \times \frac{1}{4}n < 4 \times \frac{1}{3}$

$-\frac{28}{6} < n < \frac{4}{3}$

$-\frac{14}{3} < n < \frac{4}{3}$

ここで、$\frac{14}{3} = 4.666...$ であり、$\frac{4}{3} = 1.333...$ ですから、

$-4.666... < n < 1.333...$

この不等式を満たす整数$n$は、$-4, -3, -2, -1, 0, 1$です。

3. 最終的な答え

$n = -4, -3, -2, -1, 0, 1$