問題09-2は、数学的帰納法を用いて、行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、$A^n = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n \\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n \end{pmatrix}$ ($n = 1, 2, 3, ...$) が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

問題09-2は、数学的帰納法を用いて、行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、$A^n = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n \\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n \end{pmatrix}$ ($n = 1, 2, 3, ...$) が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき

左辺は $A^1 = A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ です。

右辺は $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^1 + 2^1 & 4^1 - 2^1 \\ 4^1 - 2^1 & 4^1 + 2^1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ です。

よって、左辺 = 右辺となり、$n = 1$ のとき成立します。

(2) $n = k$ のとき、$A^k = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^k + 2^k & 4^k - 2^k \\ 4^k - 2^k & 4^k + 2^k \end{pmatrix}$ が成り立つと仮定します。

(3) $n = k + 1$ のとき

左辺は $A^{k+1} = A^k \cdot A$ です。

右辺は $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^{k+1} + 2^{k+1} & 4^{k+1} - 2^{k+1} \\ 4^{k+1} - 2^{k+1} & 4^{k+1} + 2^{k+1} \end{pmatrix}$ となることを示す必要があります。

$A^{k+1} = A^k \cdot A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^k + 2^k & 4^k - 2^k \\ 4^k - 2^k & 4^k + 2^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3(4^k + 2^k) + (4^k - 2^k) & (4^k + 2^k) + 3(4^k - 2^k) \\ 3(4^k - 2^k) + (4^k + 2^k) & (4^k - 2^k) + 3(4^k + 2^k) \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4(4^k) + 2(2^k) & 4(4^k) - 2(2^k) \\ 4(4^k) - 2(2^k) & 4(4^k) + 2(2^k) \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4^{k+1} + 2^{k+1} & 4^{k+1} - 2^{k+1} \\ 4^{k+1} - 2^{k+1} & 4^{k+1} + 2^{k+1} \end{pmatrix}$

よって、$n = k + 1$ のときも成立します。

したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について、与えられた等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

問題09-2：

与えられた行列 $A^n$ の式は、すべての自然数 $n$ に対して成り立つ。