与えられた不定方程式を満たす整数解 $(x, y)$ の組を1つ求める。問題は以下の2つです。 (1) $42x + 29y = 2$ (2) $25x - 61y = 12$

1. 問題の内容

与えられた不定方程式を満たす整数解 $(x, y)$ の組を1つ求める。問題は以下の2つです。

(1) $42x + 29y = 2$

(2) $25x - 61y = 12$

2. 解き方の手順

(1) $42x + 29y = 2$ の場合:

まず、$42x + 29y = 1$ を満たす整数解を求めます。

ユークリッドの互除法を用いて、42と29の最大公約数を求めます。

\begin{align*}

42 &= 29 \times 1 + 13 \\

29 &= 13 \times 2 + 3 \\

13 &= 3 \times 4 + 1 \\

3 &= 1 \times 3 + 0

\end{align*}

よって、最大公約数は1です。

次に、これらの式を逆順にたどって、$42x + 29y = 1$ を満たす整数解を求めます。

\begin{align*}

1 &= 13 - 3 \times 4 \\

1 &= 13 - (29 - 13 \times 2) \times 4 \\

1 &= 13 - 29 \times 4 + 13 \times 8 \\

1 &= 13 \times 9 - 29 \times 4 \\

1 &= (42 - 29 \times 1) \times 9 - 29 \times 4 \\

1 &= 42 \times 9 - 29 \times 9 - 29 \times 4 \\

1 &= 42 \times 9 - 29 \times 13

\end{align*}

したがって、$42 \times 9 + 29 \times (-13) = 1$ です。

ここで、$x=9$, $y=-13$ は $42x + 29y = 1$ の整数解です。

求める方程式は $42x + 29y = 2$ なので、両辺を2倍します。

$42 \times 18 + 29 \times (-26) = 2$

したがって、$x = 18$, $y = -26$ が $42x + 29y = 2$ の整数解の1つです。

(2) $25x - 61y = 12$ の場合：

まず、$25x - 61y = 1$ の整数解を求めます。これは、$25x + 61(-y) = 1$ と同じです。

ユークリッドの互除法を用いて、25と61の最大公約数を求めます。

\begin{align*}

61 &= 25 \times 2 + 11 \\

25 &= 11 \times 2 + 3 \\

11 &= 3 \times 3 + 2 \\

3 &= 2 \times 1 + 1 \\

2 &= 1 \times 2 + 0

\end{align*}

よって、最大公約数は1です。

次に、これらの式を逆順にたどって、$25x - 61y = 1$を満たす整数解を求めます。

\begin{align*}

1 &= 3 - 2 \times 1 \\

1 &= 3 - (11 - 3 \times 3) \times 1 \\

1 &= 3 - 11 + 3 \times 3 \\

1 &= 3 \times 4 - 11 \\

1 &= (25 - 11 \times 2) \times 4 - 11 \\

1 &= 25 \times 4 - 11 \times 8 - 11 \\

1 &= 25 \times 4 - 11 \times 9 \\

1 &= 25 \times 4 - (61 - 25 \times 2) \times 9 \\

1 &= 25 \times 4 - 61 \times 9 + 25 \times 18 \\

1 &= 25 \times 22 - 61 \times 9

\end{align*}

したがって、$25 \times 22 - 61 \times 9 = 1$ です。

ここで、$x=22$, $y=9$ は $25x - 61y = 1$ の整数解です。

求める方程式は $25x - 61y = 12$ なので、両辺を12倍します。

$25 \times (22 \times 12) - 61 \times (9 \times 12) = 12$

$25 \times 264 - 61 \times 108 = 12$

したがって、$x = 264$, $y = 108$ が $25x - 61y = 12$ の整数解の1つです。

3. 最終的な答え

(1) $x = 18$, $y = -26$

(2) $x = 264$, $y = 108$