AとBが試験を受け、Aが合格する確率は $\frac{1}{3}$、Bが合格する確率は $\frac{1}{4}$ である。 このとき、次の確率を求めよ。 (1) 2人とも合格する確率 (2) 少なくとも1人が合格する確率 (3) 1人だけが合格する確率

## 問題1

1. 問題の内容

AとBが試験を受け、Aが合格する確率は $\frac{1}{3}$、Bが合格する確率は $\frac{1}{4}$ である。

このとき、次の確率を求めよ。

(1) 2人とも合格する確率

(2) 少なくとも1人が合格する確率

(3) 1人だけが合格する確率

2. 解き方の手順

(1) 2人とも合格する確率

AとBが独立に合格するので、それぞれの確率を掛け合わせる。

$P(A合格かつB合格) = P(A合格) \times P(B合格) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$

(2) 少なくとも1人が合格する確率

これは、Aだけが合格、Bだけが合格、AもBも合格の3つの場合があるが、余事象を考えると、AもBも不合格となる確率を1から引けばよい。

$P(A不合格) = 1 - P(A合格) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$P(B不合格) = 1 - P(B合格) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$P(A不合格かつB不合格) = P(A不合格) \times P(B不合格) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$

$P(少なくとも1人が合格) = 1 - P(A不合格かつB不合格) = 1 - \frac{1}{2}$

(3) 1人だけが合格する確率

Aだけが合格し、Bが不合格の場合と、Bだけが合格し、Aが不合格の場合の2つがある。

$P(A合格かつB不合格) = P(A合格) \times P(B不合格) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$P(A不合格かつB合格) = P(A不合格) \times P(B合格) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$

$P(1人だけが合格) = P(A合格かつB不合格) + P(A不合格かつB合格) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{12}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{5}{12}$

## 問題2

1. 問題の内容

Aの袋には赤玉3個、白玉2個が入っている。Bの袋には赤玉2個、白玉3個が入っている。A,Bの袋から2個ずつ玉を取り出すとき、玉の色が1色である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

玉の色が1色である、ということは、

(i) AからもBからも赤玉2個を取り出す

(ii) AからもBからも白玉2個を取り出す

という2つのパターンがある。それぞれの確率を計算して足し合わせる。

(i) AからもBからも赤玉2個を取り出す確率

Aから赤玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

Bから赤玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

したがって、AからもBからも赤玉2個を取り出す確率は

$\frac{3}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{3}{100}$

(ii) AからもBからも白玉2個を取り出す確率

Aから白玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

Bから白玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

したがって、AからもBからも白玉2個を取り出す確率は

$\frac{1}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{100}$

求める確率は、(i)と(ii)の和である。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{100} + \frac{3}{100} = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$