AとBが試験を受け、合格する確率がそれぞれ $\frac{1}{3}$ と $\frac{1}{4}$ である。 以下の確率を求めよ。 (1) 2人とも合格する確率 (2) 少なくとも1人が合格する確率 (3) 1人だけが合格する確率

## 問題1

1. 問題の内容

AとBが試験を受け、合格する確率がそれぞれ $\frac{1}{3}$ と $\frac{1}{4}$ である。

以下の確率を求めよ。

(1) 2人とも合格する確率

(2) 少なくとも1人が合格する確率

(3) 1人だけが合格する確率

2. 解き方の手順

(1) 2人とも合格する確率

AとBがそれぞれ合格する事象は独立なので、それぞれの確率を掛け合わせる。

$P(\text{AとBが合格}) = P(\text{Aが合格}) \times P(\text{Bが合格}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$

(2) 少なくとも1人が合格する確率

これは、全体から「誰も合格しない」確率を引けば求まる。

Aが不合格になる確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Bが不合格になる確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$P(\text{少なくとも1人が合格}) = 1 - P(\text{AもBも不合格}) = 1 - P(\text{Aが不合格}) \times P(\text{Bが不合格}) = 1 - \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

(3) 1人だけが合格する確率

これは、Aが合格してBが不合格、または、Aが不合格でBが合格の2つの場合を足し合わせる。

$P(\text{Aが合格してBが不合格}) = P(\text{Aが合格}) \times P(\text{Bが不合格}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$

$P(\text{Aが不合格でBが合格}) = P(\text{Aが不合格}) \times P(\text{Bが合格}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}$

$P(\text{1人だけが合格}) = P(\text{Aが合格してBが不合格}) + P(\text{Aが不合格でBが合格}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 2人とも合格する確率: $\frac{1}{12}$

(2) 少なくとも1人が合格する確率: $\frac{1}{2}$

(3) 1人だけが合格する確率: $\frac{5}{12}$

## 問題2

1. 問題の内容

Aの袋には赤玉3個、白玉2個、Bの袋には赤玉2個、白玉3個が入っている。A,Bの袋から2個ずつ玉を取り出すとき、玉の色が1色である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

玉の色が1色であるということは、A,B両方から同じ色の玉を取り出すということである。つまり、A,B両方から赤玉を2個取り出すか、A,B両方から白玉を2個取り出すかのいずれかの確率を求めれば良い。

Aの袋から2個の赤玉を取り出す確率: $\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

Aの袋から2個の白玉を取り出す確率: $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

Bの袋から2個の赤玉を取り出す確率: $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

Bの袋から2個の白玉を取り出す確率: $\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

A,B両方から赤玉を取り出す確率: $\frac{3}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{3}{100}$

A,B両方から白玉を取り出す確率: $\frac{1}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{100}$

玉の色が1色である確率 = A,B両方から赤玉を取り出す確率 + A,B両方から白玉を取り出す確率

3. 最終的な答え

$\frac{3}{100} + \frac{3}{100} = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$