1個のサイコロを5回投げるとき、以下の確率をそれぞれ求めます。 (1) 偶数が4回出る確率 (2) 1または2が4回以上出る確率 (3) 5回目に2個目の3の倍数が出る確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回投げるとき、以下の確率をそれぞれ求めます。

(1) 偶数が4回出る確率

(2) 1または2が4回以上出る確率

(3) 5回目に2個目の3の倍数が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 偶数が4回出る確率

サイコロを1回投げたとき、偶数が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$です。5回のうち4回偶数が出て、1回奇数が出る確率は、反復試行の確率の公式より、

$_{5}C_{4} (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^1 = 5 \times (\frac{1}{2})^5 = \frac{5}{32}$

(2) 1または2が4回以上出る確率

サイコロを1回投げたとき、1または2が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。

4回出る確率: $_{5}C_{4} (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

5回出る確率: $_{5}C_{5} (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$

よって、4回以上出る確率は $\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$

(3) 5回目に2個目の3の倍数が出る確率

サイコロを1回投げたとき、3の倍数（3または6）が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。

5回目に2個目の3の倍数が出るということは、1回目から4回目までの間に3の倍数が1回出て、5回目に3の倍数が出るということです。

1回目から4回目までの間に3の倍数が1回出る確率は、

$_{4}C_{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$

5回目に3の倍数が出る確率は $\frac{1}{3}$

よって、求める確率は $\frac{32}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{243}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{32}$

(2) $\frac{11}{243}$

(3) $\frac{32}{243}$