赤玉6個、白玉3個が入った袋から玉を1個取り出して元に戻す操作を6回繰り返す。このとき、以下の確率を求めよ。 (1) 赤玉が4回出る確率 (2) 赤玉が5回以上出る確率 (3) 6回目に3個目の赤玉が出る確率

1. 問題の内容

赤玉6個、白玉3個が入った袋から玉を1個取り出して元に戻す操作を6回繰り返す。このとき、以下の確率を求めよ。

(1) 赤玉が4回出る確率

(2) 赤玉が5回以上出る確率

(3) 6回目に3個目の赤玉が出る確率

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で赤玉が出る確率を求める。

赤玉が出る確率は $p = \frac{6}{6+3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

白玉が出る確率は $q = \frac{3}{6+3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

(1) 赤玉が4回出る確率

これは二項分布に従う。6回の試行で赤玉が4回出る確率は、

$P(X=4) = {}_6 C_4 (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = \frac{6!}{4!2!} (\frac{16}{81})(\frac{1}{9}) = 15 \times \frac{16}{729} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$

(2) 赤玉が5回以上出る確率

赤玉が5回出る確率と6回出る確率を足し合わせる。

$P(X=5) = {}_6 C_5 (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729} = \frac{64}{243}$

$P(X=6) = {}_6 C_6 (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$

$P(X \geq 5) = P(X=5) + P(X=6) = \frac{192}{729} + \frac{64}{729} = \frac{256}{729}$

(3) 6回目に3個目の赤玉が出る確率

これは、5回目までに赤玉が2回出て、6回目に赤玉が出る確率を求める。

5回目までに赤玉が2回出る確率は、

$P(Y=2) = {}_5 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$

したがって、6回目に3個目の赤玉が出る確率は、

$P = P(Y=2) \times (\frac{2}{3}) = \frac{40}{243} \times \frac{2}{3} = \frac{80}{729}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{80}{243}$

(2) $\frac{256}{729}$

(3) $\frac{80}{729}$