関数 $y = (\log_3 \frac{x}{27})(\log_3 3x)$ の、$1 \le x \le 81$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log_3 \frac{x}{27})(\log_3 3x)$ の、$1 \le x \le 81$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を変形する。

$\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27 = \log_3 x - 3$

$\log_3 3x = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x$

よって、

$y = (\log_3 x - 3)(1 + \log_3 x)$

$t = \log_3 x$ とおくと、$1 \le x \le 81$ より、

$\log_3 1 \le \log_3 x \le \log_3 81$

$0 \le t \le 4$

$y = (t - 3)(1 + t) = t^2 - 2t - 3 = (t - 1)^2 - 4$

この関数は、下に凸な二次関数で、軸は $t = 1$。

$0 \le t \le 4$ の範囲での最大値、最小値を考える。

最小値：$t = 1$ のとき $y = -4$。このとき $\log_3 x = 1$ より $x = 3^1 = 3$

最大値：$t = 4$ のとき $y = (4 - 1)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$。このとき $\log_3 x = 4$ より $x = 3^4 = 81$

3. 最終的な答え

最大値：5 ($x=81$ のとき)

最小値：-4 ($x=3$ のとき)