与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を計算します。これは、初項が $1$、公比が $5$ の等比数列の第 $n$ 項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を計算します。これは、初項が $1$、公比が $5$ の等比数列の第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使用します。初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、等比数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ で与えられます。

今回の問題では、$a = 5^{1-1} = 5^0 = 1$, $r = 5$ です。したがって、和は

$S_n = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{4}$