問題は、与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、(1)頂点と通る点、(2)軸と通る2点、(3)通る3点、(4)x軸との交点と通る点が与えられ、それぞれに対応する2次関数を求め、空欄にあてはまる数を答える必要があります。

1. 問題の内容

問題は、与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、(1)頂点と通る点、(2)軸と通る2点、(3)通る3点、(4)x軸との交点と通る点が与えられ、それぞれに対応する2次関数を求め、空欄にあてはまる数を答える必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 頂点(3,2)で点(1,3)を通る。

頂点が(3,2)なので、2次関数は $y = a(x-3)^2 + 2$ と表せる。

点(1,3)を通るので、 $3 = a(1-3)^2 + 2$ が成り立つ。

$3 = 4a + 2$ より、$4a = 1$ となるので、$a = \frac{1}{4}$。

したがって、$y = \frac{1}{4}(x-3)^2 + 2$。

(2) 軸がx=-4で、2点(-2,1), (1,-20)を通る。

軸がx=-4なので、2次関数は $y = a(x+4)^2 + b$ と表せる。

点(-2,1)を通るので、$1 = a(-2+4)^2 + b$、すなわち $1 = 4a + b$。

点(1,-20)を通るので、$-20 = a(1+4)^2 + b$、すなわち $-20 = 25a + b$。

2つの式を連立して解く。

$25a + b = -20$

$4a + b = 1$

上の式から下の式を引くと、$21a = -21$ より $a = -1$。

$4(-1) + b = 1$ より $b = 5$。

したがって、$y = -(x+4)^2 + 5$。

(3) 3点(-2,-7), (1,2), (3,-12)を通る。

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点を通るので、

$4a - 2b + c = -7$

$a + b + c = 2$

$9a + 3b + c = -12$

3つの式を連立して解く。

(2) - (1)より、$-3a + 3b = 9$ すなわち $-a + b = 3$。

(3) - (2)より、$8a + 2b = -14$ すなわち $4a + b = -7$。

(4a + b) - (-a + b) = -7 - 3 より、$5a = -10$ すなわち $a = -2$。

$-(-2) + b = 3$ より、$b = 1$。

$(-2) + 1 + c = 2$ より、$c = 3$。

したがって、$y = -2x^2 + x + 3$。

(4) x軸と(-1,0), (5,0)で交わり、点(2,-18)を通る。

x軸との交点が(-1,0)と(5,0)なので、$y = a(x+1)(x-5)$ と表せる。

点(2,-18)を通るので、$-18 = a(2+1)(2-5)$。

$-18 = a(3)(-3)$ より、$-18 = -9a$ なので、$a = 2$。

したがって、$y = 2(x+1)(x-5) = 2(x^2 - 4x - 5) = 2x^2 - 8x - 10$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) 4, 5

(3) 2, 3

(4) 2, 8