## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

(1) $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ を求める。

(2) $x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ を求める。

(3) ある整数 $x$ を 4 倍して 15 を加えた数が、1 以上 40 以下であるような $x$ の個数を求める。

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2. 解き方の手順

**(1)**

まず、$x+y$ と $xy$ を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

次に、$x^2 + xy + y^2$ を $(x+y)^2 - xy$ のように変形して計算します。

$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = (\sqrt{5})^2 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

**(2)**

同様に、$x+y$ と $xy$ を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

$xy = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{10 - 2}{4} = \frac{8}{4} = 2$

次に、$x^2 - 3xy + y^2$ を $(x+y)^2 - 5xy$ のように変形して計算します。

$x^2 - 3xy + y^2 = (x+y)^2 - 5xy = (\sqrt{10})^2 - 5 \cdot 2 = 10 - 10 = 0$

**(3)**

問題文より、$1 \le 4x + 15 \le 40$ となる整数 $x$ の個数を求めます。

まず、各辺から 15 を引きます。

$1 - 15 \le 4x \le 40 - 15$

$-14 \le 4x \le 25$

次に、各辺を 4 で割ります。

$\frac{-14}{4} \le x \le \frac{25}{4}$

$-3.5 \le x \le 6.25$

$x$ は整数なので、$x$ は -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 のいずれかの値をとります。

したがって、条件を満たす整数 $x$ の個数は 10 個です。

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) 0

(3) 10 個