$\sum_{k=1}^{n}(2^{k} + 2k)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n}(2^{k} + 2k)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\sum$ の性質を利用して、2つの和に分解します。

$\sum_{k=1}^{n}(2^{k} + 2k) = \sum_{k=1}^{n}2^{k} + \sum_{k=1}^{n}2k$

一つ目の和 $\sum_{k=1}^{n}2^{k}$ は、初項が2、公比が2の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いて計算します。

$\sum_{k=1}^{n}2^{k} = \frac{2(2^{n}-1)}{2-1} = 2(2^{n}-1) = 2^{n+1}-2$

二つ目の和 $\sum_{k=1}^{n}2k$ は、定数2を $\sum$ の外に出し、$k$ の和の公式を用います。

$\sum_{k=1}^{n}2k = 2\sum_{k=1}^{n}k = 2\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n}(2^{k} + 2k) = (2^{n+1}-2) + n(n+1) = 2^{n+1} - 2 + n^{2} + n$

3. 最終的な答え

$2^{n+1} + n^{2} + n - 2$