式 $2ax^3 - 2ax - 24a$ を因数分解する。

1. 問題の内容

式 $2ax^3 - 2ax - 24a$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、全ての項に共通する因子 $2a$ をくくり出します。

$$2ax^3 - 2ax - 24a = 2a(x^3 - x - 12)$$

次に、$x^3 - x - 12$ を因数分解することを考えます。

$x=3$ を代入すると、$3^3 - 3 - 12 = 27 - 3 - 12 = 12 \neq 0$となります。

$x=3$を代入すると、$3^3 - 3 - 12 = 27 - 3 - 12 = 12 \neq 0$となります。

$x=1, 2, 3$ を代入すると

$1^3 - 1 - 12 = -12 \neq 0$

$2^3 - 2 - 12 = 8 - 2 - 12 = -6 \neq 0$

$3^3 - 3 - 12 = 27 - 3 - 12 = 12 \neq 0$

$x=-1, -2$を代入すると

$(-1)^3 - (-1) - 12 = -1+1-12 = -12 \neq 0$

$(-2)^3 - (-2) - 12 = -8 + 2 - 12 = -18 \neq 0$

$x=3$のとき、$3^3 - 3 - 12 = 27 - 3 - 12 = 12$.

$x=-3$のとき、$(-3)^3 - (-3) - 12 = -27 + 3 - 12 = -36$.

$x = -2$を代入すると $(-2)^3-(-2)-12 = -8+2-12 = -18$

$x = 0$を代入すると $-12$.

$x= 3$を代入すると、$3^3 - 3 - 12 = 27-3-12 = 12$.

$x = 1$を代入すると、$1-1-12 = -12$.

$x = 2$を代入すると、$8-2-12 = -6$.

$x^3 - x - 12 = (x - a)(x^2 + bx + c)$ とおくと

$x^3 - x - 12 = x^3 + (b-a)x^2 + (c-ab)x - ac$.

$b - a = 0$ よって $b = a$.

$c - ab = -1$ よって $c - a^2 = -1$, $c = a^2 - 1$.

$-ac = -12$ よって $a(a^2 - 1) = 12$

$a^3 - a = 12$

$a=3$のとき、 $3^3 - 3 = 27 - 3 = 24$.

$a=2$のとき、 $2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$.

数値が見つからない.

$x^3 - x - 12$は簡単には因数分解できなさそうなので、問題が間違っているか、あるいはもっと複雑な方法が必要かもしれません。

とりあえず、$x^3 - x - 12$のままにしておきます。

3. 最終的な答え

$2a(x^3 - x - 12)$