(1) $2x + 3y = 21$ を満たす自然数 $x, y$ の組を全て求める。 (2) $x + 3y + 4z = 18$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組を全て求める。

1. 問題の内容

(1) $2x + 3y = 21$ を満たす自然数 $x, y$ の組を全て求める。

(2) $x + 3y + 4z = 18$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $2x + 3y = 21$ について解く。

まず、$3y = 21 - 2x$ と変形する。

$y = (21 - 2x) / 3$ となる。

$y$ が自然数であるためには、$21 - 2x$ が 3 の倍数でなければならない。

$21 - 2x > 0$ でなければならないので、$2x < 21$ より $x < 10.5$ である。

$x$ が自然数なので、$x$ は $1, 2, 3, \dots, 10$ のいずれかである。

$x$ が 3 の倍数になる条件を探す。

$x = 3$ のとき、$y = (21 - 2*3) / 3 = (21 - 6) / 3 = 15 / 3 = 5$

$x = 6$ のとき、$y = (21 - 2*6) / 3 = (21 - 12) / 3 = 9 / 3 = 3$

$x = 9$ のとき、$y = (21 - 2*9) / 3 = (21 - 18) / 3 = 3 / 3 = 1$

(2) $x + 3y + 4z = 18$ について解く。

$x = 18 - 3y - 4z$ と変形する。

$x$ が自然数であるためには、$18 - 3y - 4z > 0$ である必要がある。

$3y + 4z < 18$ を満たす必要がある。

$y$ と $z$ は自然数なので、$y \ge 1$, $z \ge 1$ である。

$y = 1$ のとき、$3 + 4z < 18$ より、$4z < 15$, $z < 3.75$ なので、$z = 1, 2, 3$。

* $y=1, z=1$ のとき、$x = 18 - 3*1 - 4*1 = 18 - 3 - 4 = 11$

* $y=1, z=2$ のとき、$x = 18 - 3*1 - 4*2 = 18 - 3 - 8 = 7$

* $y=1, z=3$ のとき、$x = 18 - 3*1 - 4*3 = 18 - 3 - 12 = 3$

$y = 2$ のとき、$6 + 4z < 18$ より、$4z < 12$, $z < 3$ なので、$z = 1, 2$。

* $y=2, z=1$ のとき、$x = 18 - 3*2 - 4*1 = 18 - 6 - 4 = 8$

* $y=2, z=2$ のとき、$x = 18 - 3*2 - 4*2 = 18 - 6 - 8 = 4$

$y = 3$ のとき、$9 + 4z < 18$ より、$4z < 9$, $z < 2.25$ なので、$z = 1, 2$。

* $y=3, z=1$ のとき、$x = 18 - 3*3 - 4*1 = 18 - 9 - 4 = 5$

* $y=3, z=2$ のとき、$x = 18 - 3*3 - 4*2 = 18 - 9 - 8 = 1$

$y = 4$ のとき、$12 + 4z < 18$ より、$4z < 6$, $z < 1.5$ なので、$z = 1$。

* $y=4, z=1$ のとき、$x = 18 - 3*4 - 4*1 = 18 - 12 - 4 = 2$

$y = 5$ のとき、$15 + 4z < 18$ より、$4z < 3$, $z < 0.75$ となるが、$z$ は自然数なので不適。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (3, 5), (6, 3), (9, 1)$

(2) $(x, y, z) = (11, 1, 1), (7, 1, 2), (3, 1, 3), (8, 2, 1), (4, 2, 2), (5, 3, 1), (1, 3, 2), (2, 4, 1)$