与えられた式は、$\frac{14-a}{a} \times \frac{b}{b+7} \times \frac{12}{2} = 1$ です。この式を解いて、$2a+9b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式は、$\frac{14-a}{a} \times \frac{b}{b+7} \times \frac{12}{2} = 1$ です。この式を解いて、$2a+9b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。$\frac{12}{2}$ は $6$ なので、式は次のようになります。

$\frac{14-a}{a} \times \frac{b}{b+7} \times 6 = 1$

両辺を6で割ります。

$\frac{14-a}{a} \times \frac{b}{b+7} = \frac{1}{6}$

次に、両辺に $a(b+7)$ を掛けます。

$(14-a)b = \frac{1}{6}a(b+7)$

両辺に6を掛けます。

$6(14-a)b = a(b+7)$

$84b - 6ab = ab + 7a$

$7ab + 7a - 84b = 0$

$7(ab + a - 12b) = 0$

$ab + a - 12b = 0$

$a(b+1) = 12b$

$a = \frac{12b}{b+1}$

求めたい値は $2a+9b$ です。$a$ に上記の式を代入します。

$2a+9b = 2 \times \frac{12b}{b+1} + 9b$

$= \frac{24b}{b+1} + 9b$

$= \frac{24b + 9b(b+1)}{b+1}$

$= \frac{24b + 9b^2 + 9b}{b+1}$

$= \frac{9b^2 + 33b}{b+1}$

$= \frac{3b(3b + 11)}{b+1}$

ここで、問題文に $2a + 9b$ の値が定まるような追加条件がないため、式を整理しても値は一つに定まりません。しかし、画像の情報から、aとbは整数であると仮定します。

$a = \frac{12b}{b+1}$ が整数となるためには、$12b$ が $b+1$ の倍数である必要があります。

$a = \frac{12(b+1)-12}{b+1} = 12 - \frac{12}{b+1}$

$a$ が整数であるためには、$\frac{12}{b+1}$ が整数である必要があります。したがって、$b+1$ は $12$ の約数である必要があります。

$b+1 = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

$b = 0, 1, 2, 3, 5, 11$

$b=0$のとき、$a=0$となるが、与えられた式は定義されない。

$b=1$のとき、$a = \frac{12}{2} = 6$。$2a+9b = 2(6) + 9(1) = 12 + 9 = 21$

$b=2$のとき、$a = \frac{24}{3} = 8$。$2a+9b = 2(8) + 9(2) = 16 + 18 = 34$

$b=3$のとき、$a = \frac{36}{4} = 9$。$2a+9b = 2(9) + 9(3) = 18 + 27 = 45$

$b=5$のとき、$a = \frac{60}{6} = 10$。$2a+9b = 2(10) + 9(5) = 20 + 45 = 65$

$b=11$のとき、$a = \frac{132}{12} = 11$。$2a+9b = 2(11) + 9(11) = 22 + 99 = 121$

しかし、$b=1$のとき、$a=6$となり、

$\frac{14-6}{6} \times \frac{1}{1+7} \times 6 = \frac{8}{6} \times \frac{1}{8} \times 6 = 1$となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

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