シグマ記号を用いて表された数列の和を、シグマ記号を用いずに、各項を書き並べて表す問題です。具体的には、以下の2つの数列の和を計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ (2) $\sum_{k=3}^{6} (-k+5)$

1. 問題の内容

シグマ記号を用いて表された数列の和を、シグマ記号を用いずに、各項を書き並べて表す問題です。具体的には、以下の2つの数列の和を計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

(2) $\sum_{k=3}^{6} (-k+5)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ の場合：

$k$ に $1$ から $n$ までの整数を代入し、各項を足し合わせます。

$2^{1-1} + 2^{2-1} + 2^{3-1} + \dots + 2^{n-1} = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$

(2) $\sum_{k=3}^{6} (-k+5)$ の場合：

$k$ に $3$ から $6$ までの整数を代入し、各項を足し合わせます。

$(-3+5) + (-4+5) + (-5+5) + (-6+5) = 2 + 1 + 0 + (-1)$

3. 最終的な答え

(1) $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$

(2) $2 + 1 + 0 + (-1)$