大、中、小の3個のサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求める問題です。 (1) 出た目の最小値が3となる確率と、出た目の最小値が3または4となる確率 (2) 3個のサイコロの出た目の積をXとするとき、Xが偶数となる確率と、Xが6の倍数となる確率

1. 問題の内容

大、中、小の3個のサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求める問題です。

(1) 出た目の最小値が3となる確率と、出た目の最小値が3または4となる確率

(2) 3個のサイコロの出た目の積をXとするとき、Xが偶数となる確率と、Xが6の倍数となる確率

2. 解き方の手順

(1)

* 最小値が3となる確率: 3つのサイコロの目はすべて3以上で、少なくとも1つは3である必要があります。

* すべての目が3以上の組み合わせ: 4x4x4 = 64通り (各サイコロの目は3, 4, 5, 6)

* すべての目が4以上の組み合わせ: 3x3x3 = 27通り (各サイコロの目は4, 5, 6)

* 最小値が3となる組み合わせ: 64 - 27 = 37通り

* 確率は $\frac{37}{216}$

* 最小値が3または4となる確率: 3つのサイコロの目はすべて3以上または4以上で、少なくとも1つは3か4である必要があります。

* すべての目が3以上の組み合わせ: 4x4x4 = 64通り

* すべての目が5以上の組み合わせ: 2x2x2 = 8通り

* 最小値が3または4となる組み合わせ: (4x4x4 - 2x2x2)-(3x3x3 -1x1x1) = 56

* すべての目が4以上の組み合わせ: 3x3x3 = 27通り (各サイコロの目は4, 5, 6)

* すべての目が5以上の組み合わせ: 2x2x2 = 8通り (各サイコロの目は5, 6)

* 最小値が4となる組み合わせ: 27 - 8 = 19通り

*最小値が3か4になる組み合わせは、(4x4x4 - 2x2x2) - (3x3x3 - 1x1x1) = 56 - 26 = 30　この解答は存在しない。

* すべての目が3以上でかつ少なくとも1つが3, またはすべての目が4以上でかつ少なくとも1つが4の場合を考える。

* すべての目が3以上の組み合わせ: $4^3 = 64$通り

* すべての目が5以上の組み合わせ: $2^3 = 8$通り

* 最小値が3か4になる組み合わせ: $64-8 = 56$通りではないか。

* 最小値が3または4となる組み合わせ: すべての目が3,4,5,6 かつ少なくとも一つは3か4なので、$4^3 - 2^3 = 64 - 8 = 56$通り. ただし、サイコロの最小値が5以上という組み合わせは$2^3 = 8$通り

* 最小値が3の組み合わせ: 37通り (先ほど計算)

* 最小値が4の組み合わせ: 3x3x3 - 2x2x2 = 27 - 8 = 19通り

* したがって最小値が3または4となる組み合わせ: 37 + 19 = 56通り

* 全体の場合の数は、$6^3 = 216$

* よって確率は $\frac{56}{216} = \frac{7}{27}$

(2)

* Xが偶数となる確率: Xが奇数となるのは、3つのサイコロがすべて奇数の場合です。各サイコロが奇数となる確率は1/2なので、Xが奇数になる確率は (1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8。したがって、Xが偶数となる確率は 1 - 1/8 = 7/8。

* Xが6の倍数となる確率: Xが6の倍数となるには、Xが2の倍数であり、かつ3の倍数である必要があります。まず、Xが3の倍数となる確率を考えます。Xが3の倍数にならないのは、3つのサイコロの目がすべて1, 2, 4, 5のいずれかの場合です。この確率は (4/6)^3 = (2/3)^3 = 8/27です。したがって、Xが3の倍数となる確率は 1 - 8/27 = 19/27。 Xが2の倍数になるのは、$7/8$でした。

*Xが6の倍数になるのは、サイコロの出目の積が2の倍数かつ3の倍数になる場合。余事象を使う。Xが6の倍数にならないのは以下のいずれかの場合

1. すべて奇数: $3^3/6^3 = 27/216$

2. 3の倍数が一つもない(1,2,4,5): $4^3/6^3 = 64/216$

3. 2の倍数が一つもない(1,3,5): $3^3/6^3 = 27/216$

上の1~3は同時には起こらないので、単純に足して、$(27+64+27)/216 = 118/216$

しかし、この場合、6の倍数が全く含まれない組み合わせも複数回数えてしまうため、単純な余事象では求めることが出来ない。

6の倍数の積になる組み合わせを地道に数えるしかない。しかし、この方法では時間がかかりすぎる。

* 3つのサイコロの積が6の倍数にならない確率を考える

* 全事象: $6^3 = 216$

* 少なくとも一つのサイコロの目が1のとき

* 少なくとも一つのサイコロの目が2のとき

* 少なくとも一つのサイコロの目が3のとき

* 少なくとも一つのサイコロの目が4のとき

* 少なくとも一つのサイコロの目が5のとき

* 少なくとも一つのサイコロの目が6のとき

* 積が6の倍数にならない組み合わせ

* ３つとも奇数: 1x3x5 = 1, 3x3x3 = 27通り

* 積が3の倍数にならない組み合わせ: (1,2,4,5)^3 = 4^3 = 64通り

* 両方を満たす組み合わせ: (1,5)^3 = 2^3 = 8通り

* よって,どちらかを満たす組み合わせ = 27 + 64 - 8 = 83通り

* 積が6の倍数になる組み合わせ = 216 - 83 = 133通り

* よって,積が6の倍数になる確率 = $\frac{133}{216}$

3. 最終的な答え

19: イ. 37/216

20: ウ. 7/27

21: ウ. 7/8

22: イ. 133/216