与えられた不等式 $-3x^2 + x + 1 \geq 0$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-3x^2 + x + 1 \geq 0$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に -1 を掛けて、$x^2$ の係数を正にします。

$3x^2 - x - 1 \leq 0$

次に、二次方程式 $3x^2 - x - 1 = 0$ の解を求めます。解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 3$, $b = -1$, $c = -1$ です。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

よって、$3x^2 - x - 1 = 0$ の解は $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ と $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ です。

$3x^2 - x - 1 \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は、二次関数 $y = 3x^2 - x - 1$ のグラフが $y \leq 0$ となる $x$ の範囲です。

これは、$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ と $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ の間の範囲となります。

したがって、不等式 $3x^2 - x - 1 \leq 0$ の解は $\frac{1 - \sqrt{13}}{6} \leq x \leq \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1 - \sqrt{13}}{6} \leq x \leq \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$