与えられた三角関数の等式を証明せよ、という問題です。具体的には、積和の公式（(1)~(3)）と和積の公式（(4)~(6)）を示す必要があります。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の等式を証明せよ、という問題です。具体的には、積和の公式（(1)~(3)）と和積の公式（(4)~(6)）を示す必要があります。

2. 解き方の手順

(1)～(3)は、加法定理から導きます。

(4)～(6)は、(1)～(3)で導いた式を用いて導きます。

(1) $sin(x+y) = sinx cosy + cosx siny$

$sin(x-y) = sinx cosy - cosx siny$

2つの式を足すと、

$sin(x+y) + sin(x-y) = 2sinx cosy$

したがって、

$sinx cosy = \frac{1}{2} \{ sin(x+y) + sin(x-y) \}$

(2) $cos(x+y) = cosx cosy - sinx siny$

$cos(x-y) = cosx cosy + sinx siny$

2つの式を足すと、

$cos(x+y) + cos(x-y) = 2cosx cosy$

したがって、

$cosx cosy = \frac{1}{2} \{ cos(x+y) + cos(x-y) \}$

(3) $cos(x+y) = cosx cosy - sinx siny$

$cos(x-y) = cosx cosy + sinx siny$

2つの式を引き算すると、

$cos(x+y) - cos(x-y) = -2sinx siny$

したがって、

$sinx siny = -\frac{1}{2} \{ cos(x+y) - cos(x-y) \}$

(4)

$x+y = A$

$x-y = B$

とおくと、

$x = \frac{A+B}{2}$

$y = \frac{A-B}{2}$

(1)の式に代入すると、

$sin(\frac{A+B}{2}) cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{1}{2} \{ sin(A) + sin(B) \}$

したがって、

$sinA + sinB = 2sin(\frac{A+B}{2}) cos(\frac{A-B}{2})$

（与えられた式と少し違います。写真の問題がおかしいと思われます。）

(5)

$x+y = A$

$x-y = B$

とおくと、

$x = \frac{A+B}{2}$

$y = \frac{A-B}{2}$

(2)の式に代入すると、

$cos(\frac{A+B}{2}) cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{1}{2} \{ cos(A) + cos(B) \}$

したがって、

$cosA + cosB = 2cos(\frac{A+B}{2}) cos(\frac{A-B}{2})$

(6)

$x+y = A$

$x-y = B$

とおくと、

$x = \frac{A+B}{2}$

$y = \frac{A-B}{2}$

(3)の式に代入すると、

$sin(\frac{A+B}{2}) sin(\frac{A-B}{2}) = -\frac{1}{2} \{ cos(A) - cos(B) \}$

したがって、

$cosA - cosB = -2sin(\frac{A+B}{2}) sin(\frac{A-B}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $sinx cosy = \frac{1}{2} \{ sin(x+y) + sin(x-y) \}$

(2) $cosx cosy = \frac{1}{2} \{ cos(x+y) + cos(x-y) \}$

(3) $sinx siny = -\frac{1}{2} \{ cos(x+y) - cos(x-y) \}$

(4) $sinA + sinB = 2sin(\frac{A+B}{2}) cos(\frac{A-B}{2})$

(5) $cosA + cosB = 2cos(\frac{A+B}{2}) cos(\frac{A-B}{2})$

(6) $cosA - cosB = -2sin(\frac{A+B}{2}) sin(\frac{A-B}{2})$