不等式 $\cos 2x + cx^2 \geq 1$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $c$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\cos 2x + cx^2 \geq 1$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $c$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$\cos 2x + cx^2 \geq 1$

$\cos 2x - 1 + cx^2 \geq 0$

ここで、$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$1 - 2\sin^2 x - 1 + cx^2 \geq 0$

$-2\sin^2 x + cx^2 \geq 0$

$cx^2 \geq 2\sin^2 x$

$x \neq 0$ のとき、$c \geq 2\frac{\sin^2 x}{x^2} = 2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$ となります。

$x=0$ のとき、$\cos(2\cdot 0) + c\cdot 0^2 \geq 1$ より $1+0 \geq 1$ となり、これは常に成り立ちます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用します。

すべての実数 $x$ で不等式が成り立つためには、$x \to 0$ の極限を考えることで、$c$ の最小値を求めることができます。

$c \geq 2\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2(1)^2 = 2$

ここで、$f(x) = 2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$ を考えると、$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$ となります。

$f(x)$ の最大値を考えます。$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると複雑になるので、$\frac{\sin x}{x}$ の最大値は $x=0$ のとき1であること、$c\geq 2(\frac{\sin x}{x})^2$ より $c \geq 2\cdot 0 = 0$となることに注意すると、

$0$ 近傍の $x$ で $2(\frac{\sin x}{x})^2 \le 2$ であればよく、$c \geq 2$ とすればよいことがわかります。

次に、$x=0$ のときは常に不等式が成り立つことを確認しました。

$x \neq 0$ のとき、$\frac{\sin^2 x}{x^2}$ が最大となるのは、実は $x = 0$ のときです。$x\neq 0$ に対して、$\left|\frac{\sin x}{x}\right| < 1$ が成り立つため、$2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 < 2$ となります。よって、$c \geq 2$ であれば、すべての $x$ について $\cos 2x + cx^2 \geq 1$ が成り立ちます。

$c=0$のとき、$\cos 2x \geq 1$ がすべての $x$ で成り立つ必要があり、$2x = 2n\pi$ （$n$ は整数）のときのみ成立するので、$c=0$は条件を満たしません。

3. 最終的な答え

$c \geq 2$