$a$を正の定数とする。曲線 $C_1: y = x \log x$ と $C_2: y = ax^2$ の両方に接する直線の本数を求める。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x} = 0$ は証明なしに用いてよい。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とする。曲線 $C_1: y = x \log x$ と $C_2: y = ax^2$ の両方に接する直線の本数を求める。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x} = 0$ は証明なしに用いてよい。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$上の点 $(t_1, t_1 \log t_1)$ における接線を求める。

$y' = \log x + 1$ より、接線の方程式は

$y - t_1 \log t_1 = (\log t_1 + 1)(x - t_1)$

$y = (\log t_1 + 1)x - t_1$

次に、$C_2$上の点 $(t_2, at_2^2)$ における接線を求める。

$y' = 2ax$ より、接線の方程式は

$y - at_2^2 = 2at_2(x - t_2)$

$y = 2at_2 x - at_2^2$

この2つの接線が一致するためには、傾きと切片がそれぞれ等しくなければならない。

$\log t_1 + 1 = 2at_2$ ...(1)

$-t_1 = -at_2^2$ ...(2)

(2)より $t_1 = at_2^2$。これを(1)に代入して

$\log (at_2^2) + 1 = 2at_2$

$\log a + 2 \log t_2 + 1 = 2at_2$

$2 \log t_2 = 2at_2 - \log a - 1$

$\log t_2 = at_2 - \frac{1}{2} \log a - \frac{1}{2}$

$t_2 = e^{at_2 - \frac{1}{2} \log a - \frac{1}{2}}$

$t_2>0$ である。

$t_1 = at_2^2$ を(1)に代入すると、

$\log t_1+1=2at_2$

$t_1 = at_2^2$なので、$t_2 = \sqrt{\frac{t_1}{a}}$ である。

$\log t_1 + 1 = 2a \sqrt{\frac{t_1}{a}}$

$\log t_1 + 1 = 2 \sqrt{at_1}$

ここで、$u = \sqrt{t_1}$とおくと、$t_1 = u^2$

$\log (u^2) + 1 = 2 \sqrt{au^2}$

$2 \log u + 1 = 2 \sqrt{a} u$

$\log u = \sqrt{a} u - \frac{1}{2}$

ここで、$f(u) = \sqrt{a} u - \frac{1}{2} - \log u$ とおく。

$f'(u) = \sqrt{a} - \frac{1}{u}$

$f'(u) = 0$ となるのは $u = \frac{1}{\sqrt{a}}$ のときである。

$f(\frac{1}{\sqrt{a}}) = \sqrt{a} \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{2} - \log \frac{1}{\sqrt{a}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log a$

$f(\frac{1}{\sqrt{a}}) = \frac{1}{2} (1 + \log a)$

$1 + \log a > 0$ ならば、$\log a > -1$ より $a > e^{-1} = \frac{1}{e}$ のとき、$f(u) = 0$ となる $u$ が2つ存在する。

$1 + \log a = 0$ ならば、$\log a = -1$ より $a = e^{-1} = \frac{1}{e}$ のとき、$f(u) = 0$ となる $u$ が1つ存在する。

$1 + \log a < 0$ ならば、$\log a < -1$ より $a < e^{-1} = \frac{1}{e}$ のとき、$f(u) = 0$ となる $u$ は存在しない。

$u$の個数が接線の本数に等しいので、$a > \frac{1}{e}$ のとき2本、$a = \frac{1}{e}$ のとき1本、$a < \frac{1}{e}$ のとき0本。

3. 最終的な答え

$a > \frac{1}{e}$ のとき2本

$a = \frac{1}{e}$ のとき1本

$a < \frac{1}{e}$ のとき0本