$C_1$ 上の点 $(s, s\log s)$ における接線を求める。 $y' = \log x + 1$ なので、接線の傾きは $\log s + 1$。 接線の方程式は $y - s\log s = (\log s + 1)(x - s)$ $y = (\log s + 1)x - s$

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1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、2つの曲線 $C_1: y = x\log x$ と $C_2: y = ax^2$ の両方に接する直線の本数を求める問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x} = 0$ を証明なしに用いてよいとされています。

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1. 解き方の手順

1. **$C_1$ 上の接線を求める**:

$C_1$ 上の点 $(s, s\log s)$ における接線を求める。

$y' = \log x + 1$ なので、接線の傾きは $\log s + 1$。

接線の方程式は

$y - s\log s = (\log s + 1)(x - s)$

$y = (\log s + 1)x - s$

2. **$C_2$ 上の接線を求める**:

$C_2$ 上の点 $(t, at^2)$ における接線を求める。

$y' = 2ax$ なので、接線の傾きは $2at$。

接線の方程式は

$y - at^2 = 2at(x - t)$

$y = 2atx - at^2$

3. **2つの接線が一致する条件**:

$C_1$ と $C_2$ の接線が一致するためには、傾きとy切片が等しくなければならない。

$\log s + 1 = 2at$

$-s = -at^2$

4. **$s$ と $t$ を求める**:

2つの式から $a = \frac{s}{t^2}$ なので、$\log s + 1 = 2 \frac{s}{t^2} t = \frac{2s}{t}$

したがって、$t = \frac{2s}{\log s + 1}$

$t > 0$ より、 $\log s + 1 > 0$なので、$s > e^{-1}$

5. **$a$ の条件**:

$a = \frac{s}{t^2} = \frac{s}{(\frac{2s}{\log s + 1})^2} = \frac{(\log s + 1)^2}{4s}$

$f(s) = \frac{(\log s + 1)^2}{4s}$ とおくと、$a = f(s)$となる$s$の個数が接線の本数となる。

$f'(s) = \frac{2(\log s + 1)\frac{1}{s}4s - (\log s + 1)^2 \cdot 4}{16s^2} = \frac{8(\log s + 1) - 4(\log s + 1)^2}{16s^2} = \frac{2(\log s + 1) - (\log s + 1)^2}{4s^2} = \frac{(\log s + 1)(2 - \log s - 1)}{4s^2} = \frac{(\log s + 1)(1 - \log s)}{4s^2}$

$f'(s) = 0$ のとき、$\log s = -1, 1$ より、$s = e^{-1}, e$

$s > 0$

$s \to \infty$ のとき、$\lim_{s \to \infty} f(s) = \lim_{s \to \infty} \frac{(\log s + 1)^2}{4s} = 0$

$f(e^{-1}) = \frac{(\log e^{-1} + 1)^2}{4e^{-1}} = 0$

$f(e) = \frac{(\log e + 1)^2}{4e} = \frac{4}{4e} = \frac{1}{e}$

$s \to e^{-1}$ に近づくとき、$a$ は $0$ に近づく。

$s \to \infty$ に近づくとき、$a$ は $0$ に近づく。

よって、$0 < a < \frac{1}{e}$ のとき、2本。

$a = \frac{1}{e}$ のとき、1本。

$a \ge \frac{1}{e}$ のとき、0本。

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1. 最終的な答え

$0 < a < \frac{1}{e}$ のとき、2本。

$a = \frac{1}{e}$ のとき、1本。

$a > \frac{1}{e}$ のとき、0本。