硬貨を $n$ 回投げるとき、表の出る相対度数を $R$ とする。$n=100$ の場合に、$P(|R - \frac{1}{2}| \le 0.05)$ の値を、巻末の正規分布表を用いて求めよ。

1. 問題の内容

硬貨を $n$ 回投げるとき、表の出る相対度数を $R$ とする。$n=100$ の場合に、$P(|R - \frac{1}{2}| \le 0.05)$ の値を、巻末の正規分布表を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

$R$ は表の出る相対度数なので、表の出る回数を $X$ とすると、$R = \frac{X}{n}$ である。$X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う。ここで、$n = 100$ であり、$p = \frac{1}{2}$ である（表が出る確率）。

$n$ が大きいので、中心極限定理より、$X$ は近似的に正規分布に従う。

$X$ の期待値 $E(X) = np = 100 \times \frac{1}{2} = 50$

$X$ の分散 $V(X) = np(1-p) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$

$X$ の標準偏差 $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{25} = 5$

$R = \frac{X}{n} = \frac{X}{100}$

$E(R) = \frac{E(X)}{100} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

$V(R) = \frac{V(X)}{100^2} = \frac{25}{10000} = \frac{1}{400}$

$\sigma(R) = \sqrt{V(R)} = \sqrt{\frac{1}{400}} = \frac{1}{20} = 0.05$

$P(|R - \frac{1}{2}| \le 0.05)$ を求める。

$|R - \frac{1}{2}| \le 0.05$ は $-\frac{1}{20} \le R - \frac{1}{2} \le \frac{1}{20}$ と同値である。

したがって、$\frac{1}{2} - \frac{1}{20} \le R \le \frac{1}{2} + \frac{1}{20}$ である。

$\frac{9}{20} \le R \le \frac{11}{20}$

$0.45 \le R \le 0.55$

$Z = \frac{R - E(R)}{\sigma(R)} = \frac{R - 0.5}{0.05}$ と標準化する。

$P(0.45 \le R \le 0.55) = P(\frac{0.45 - 0.5}{0.05} \le Z \le \frac{0.55 - 0.5}{0.05})$

$= P(\frac{-0.05}{0.05} \le Z \le \frac{0.05}{0.05})$

$= P(-1 \le Z \le 1)$

$= P(Z \le 1) - P(Z \le -1)$

$= P(Z \le 1) - (1 - P(Z \le 1))$

$= 2P(Z \le 1) - 1$

標準正規分布表より、$P(Z \le 1) = 0.8413$

したがって、$2 \times 0.8413 - 1 = 1.6826 - 1 = 0.6826$

3. 最終的な答え

$P(|R - \frac{1}{2}| \le 0.05) \approx 0.6826$