1からnまでの数字が書かれたカードがあり、数字kが書かれたカードはk枚存在する。この中から1枚のカードを取り出すとき、取り出したカードに書かれた数を確率変数Xとする。(1)確率変数Xがkである確率$p_k$を求めよ。(2)確率変数Xの平均値mを求めよ。(3)確率変数Xの標準偏差$\sigma$を求めよ。

1. 問題の内容

1からnまでの数字が書かれたカードがあり、数字kが書かれたカードはk枚存在する。この中から1枚のカードを取り出すとき、取り出したカードに書かれた数を確率変数Xとする。(1)確率変数Xがkである確率$p_k$を求めよ。(2)確率変数Xの平均値mを求めよ。(3)確率変数Xの標準偏差$\sigma$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)確率$p_k$の導出

まず、カードの総数を計算します。

カードの総数は、1+2+3+...+n = $\frac{n(n+1)}{2}$枚です。

$X=k$である確率は、$k$と書かれたカードの枚数をカードの総数で割ったものです。

したがって、$p_k = \frac{k}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2k}{n(n+1)}$です。

(2)平均値mの導出

平均値mは、確率変数Xの期待値として計算されます。

$m = E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{2k}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$であるため、

$m = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n+1}{3}$

(3)標準偏差$\sigma$の導出

標準偏差$\sigma$を求めるために、まず分散$V[X]$を計算します。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot \frac{2k}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} k^3$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$であるため、

$E[X^2] = \frac{2}{n(n+1)} \cdot (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、$V[X] = \frac{n(n+1)}{2} - (\frac{2n+1}{3})^2 = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{4n^2+4n+1}{9} = \frac{9n^2+9n-8n^2-8n-2}{18} = \frac{n^2+n-2}{18} = \frac{(n-1)(n+2)}{18}$

標準偏差$\sigma$は、分散の平方根として計算されます。

$\sigma = \sqrt{V[X]} = \sqrt{\frac{(n-1)(n+2)}{18}} = \sqrt{\frac{(n-1)(n+2)}{18}} = \frac{\sqrt{2(n-1)(n+2)}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $p_k = \frac{2k}{n(n+1)}$

(2) $m = \frac{2n+1}{3}$

(3) $\sigma = \frac{\sqrt{2(n-1)(n+2)}}{6}$