問題4は以下の通りです。 赤玉2個と白玉7個が入った袋から玉を1個取り出し袋に戻す試行を$k$回繰り返す。1度でも赤玉が出れば0点、すべて白玉のときは$k$点とする。 (1) 得点が0点となる確率を、$k$を用いて表せ。 (2) 得点の期待値を、$k$を用いて表せ。 (3) 得点の期待値が最大になる$k$の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題4は以下の通りです。

赤玉2個と白玉7個が入った袋から玉を1個取り出し袋に戻す試行を$k$回繰り返す。1度でも赤玉が出れば0点、すべて白玉のときは$k$点とする。

(1) 得点が0点となる確率を、$k$を用いて表せ。

(2) 得点の期待値を、$k$を用いて表せ。

(3) 得点の期待値が最大になる$k$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 得点が0点となる確率は、1回以上赤玉が出る確率である。1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{2}{9}$ である。したがって、1回の試行で白玉が出る確率は $\frac{7}{9}$ である。

$k$回の試行ですべて白玉が出る確率は $(\frac{7}{9})^k$ である。

したがって、1回以上赤玉が出る確率は、$1 - (\frac{7}{9})^k$ となる。

(2) 得点の期待値は、(得点)×(確率)の総和で計算される。

得点が0点になる確率は $1 - (\frac{7}{9})^k$ である。

得点が$k$点になる確率は $(\frac{7}{9})^k$ である。

したがって、得点の期待値 $E$ は次のようになる。

$E = 0 \times (1 - (\frac{7}{9})^k) + k \times (\frac{7}{9})^k = k (\frac{7}{9})^k$

(3) 得点の期待値が最大になる$k$を求める。

$E(k) = k (\frac{7}{9})^k$ とする。

$E(k+1) = (k+1) (\frac{7}{9})^{k+1}$

$\frac{E(k+1)}{E(k)} = \frac{(k+1) (\frac{7}{9})^{k+1}}{k (\frac{7}{9})^k} = \frac{k+1}{k} \times \frac{7}{9}$

$E(k+1) > E(k)$ のとき、$\frac{E(k+1)}{E(k)} > 1$ となるので、

$\frac{k+1}{k} \times \frac{7}{9} > 1$

$7(k+1) > 9k$

$7k+7 > 9k$

$7 > 2k$

$k < \frac{7}{2} = 3.5$

$k \le 3$ のとき、$E(k+1) > E(k)$ となる。

$k \ge 4$ のとき、$E(k+1) < E(k)$ となる。

$E(3) = 3(\frac{7}{9})^3 \approx 0.9506$

$E(4) = 4(\frac{7}{9})^4 \approx 0.9123$

したがって、$k=3$のとき、期待値は最大になる。

3. 最終的な答え

(1) $1 - (\frac{7}{9})^k$

(2) $k(\frac{7}{9})^k$

(3) $k=3$