箱Aには赤玉1個と白玉4個、箱Bには赤玉4個と白玉2個が入っている。箱Aから2個、箱Bから1個の玉を取り出すとき、取り出した3個の玉のうち赤玉の個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

箱Aには赤玉1個と白玉4個、箱Bには赤玉4個と白玉2個が入っている。箱Aから2個、箱Bから1個の玉を取り出すとき、取り出した3個の玉のうち赤玉の個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

赤玉の個数の期待値を計算するために、Aから取り出す赤玉の個数の期待値と、Bから取り出す赤玉の個数の期待値をそれぞれ計算し、それらの和を求める。

Aから2個取り出すとき、赤玉の個数が0個、1個、2個の場合の確率をそれぞれ計算する。

* Aから赤玉を0個取り出す確率は、白玉4個から2個を選ぶ確率を、5個から2個を選ぶ確率で割ったものになる。

$P(A=0) = \frac{{}_4C_2}{{}_5C_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

* Aから赤玉を1個取り出す確率は、赤玉1個から1個、白玉4個から1個を選ぶ確率を、5個から2個を選ぶ確率で割ったものになる。

$P(A=1) = \frac{{}_1C_1 \cdot {}_4C_1}{{}_5C_2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

* Aから赤玉を2個取り出す確率は0である。赤玉は1個しかないため。

Aから取り出す赤玉の個数の期待値 $E(A)$ は、

$E(A) = 0 \cdot P(A=0) + 1 \cdot P(A=1) + 0 = 0 \cdot \frac{3}{5} + 1 \cdot \frac{2}{5} + 0 = \frac{2}{5}$

Bから1個取り出すとき、赤玉の個数が0個、1個の場合の確率をそれぞれ計算する。

* Bから赤玉を0個取り出す確率は、白玉2個から1個を選ぶ確率を、6個から1個を選ぶ確率で割ったものになる。

$P(B=0) = \frac{{}_2C_1}{{}_6C_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

* Bから赤玉を1個取り出す確率は、赤玉4個から1個を選ぶ確率を、6個から1個を選ぶ確率で割ったものになる。

$P(B=1) = \frac{{}_4C_1}{{}_6C_1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Bから取り出す赤玉の個数の期待値 $E(B)$ は、

$E(B) = 0 \cdot P(B=0) + 1 \cdot P(B=1) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

取り出した3個の玉のうち赤玉の個数の期待値は、Aから取り出す赤玉の個数の期待値とBから取り出す赤玉の個数の期待値の和である。

$E = E(A) + E(B) = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{6}{15} + \frac{10}{15} = \frac{16}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{15}$