正六角形の頂点Aに点Pがある。硬貨を3回投げ、表が出たら右隣、裏が出たら左隣の頂点に点Pを移動させる。3回後に点Pが頂点Bにいる確率を求める。

1. 問題の内容

正六角形の頂点Aに点Pがある。硬貨を3回投げ、表が出たら右隣、裏が出たら左隣の頂点に点Pを移動させる。3回後に点Pが頂点Bにいる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、正六角形の頂点にA, B, C, D, E, Fと名前を付ける（時計回りに）。AからBへ移動するには、右回りに1回移動すれば良い。つまり、表が1回多く出る必要がある。硬貨を3回投げるので、表と裏の組み合わせは以下の通り：

* 表3回、裏0回：AAA

* 表2回、裏1回：AAB, ABA, BAA

* 表1回、裏2回：ABB, BAB, BBA

* 表0回、裏3回：BBB

点PがAからBに移動するためには、右回り（表）が左回り（裏）よりも1回多くなる必要がある。3回の移動でAからBへ到達する方法は、次の3通りである：

* 表2回、裏1回：このとき、表の回数 - 裏の回数 = 2 - 1 = 1 となる。

これらの組み合わせは、AAB, ABA, BAAの3通りである。

次に、AAB, ABA, BAAのそれぞれの場合において、最終的にBに到達するかどうかを確認する。

* AAB: A -> B -> C -> B (Bに到達)

* ABA: A -> B -> A -> B (Bに到達)

* BAA: A -> F -> E -> D (Bに到達しない)

したがって、AABとABAの場合は頂点Bに到達する。

硬貨を3回投げた時のすべての起こりうるパターンは$2^3 = 8$通りである。

そのうち、点Pが頂点Bに到達するパターンは3通りなので、確率は $3/8$ となる。

3. 最終的な答え

3/8