与えられた対数の式を計算します。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $\log_3 243$ (2) $\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 \frac{3}{2}$ (3) $\log_2 20 - \log_2 5\sqrt{2}$ (4) $\frac{1}{2} \log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3}$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算します。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $\log_3 243$

(2) $\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 \frac{3}{2}$

(3) $\log_2 20 - \log_2 5\sqrt{2}$

(4) $\frac{1}{2} \log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3 243$

243を3の累乗で表すと、$243 = 3^5$となります。したがって、

$\log_3 243 = \log_3 3^5 = 5$

(2) $\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 \frac{3}{2}$

対数の和は、真数の積になります。

$\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 (\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}) = \log_2 2 = 1$

(3) $\log_2 20 - \log_2 5\sqrt{2}$

対数の差は、真数の商になります。

$\log_2 20 - \log_2 5\sqrt{2} = \log_2 \frac{20}{5\sqrt{2}} = \log_2 \frac{4}{\sqrt{2}} = \log_2 \frac{4\sqrt{2}}{2} = \log_2 2\sqrt{2} = \log_2 2^{3/2} = \frac{3}{2}$

(4) $\frac{1}{2} \log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3}$

$\frac{1}{2} \log_3 5 = \log_3 5^{1/2} = \log_3 \sqrt{5}$

したがって、

$\log_3 \sqrt{5} - \log_3 \frac{\sqrt{15}}{3} = \log_3 \frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{15}}{3}} = \log_3 \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \log_3 \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \log_3 \frac{3}{\sqrt{3}} = \log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{1/2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 1

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $\frac{1}{2}$