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次の2次関数を平方完成しなさい。 (1) $y = x^2 + 3x - 1$ (2) $y = x^2 - x + 2$ (3) $y = x^2 + 3x - 2$ (4) $y = x^2 - 2x + 5$ (5) $y = x^2 - 3x - 3$ (6) $y = x^2 + 3x + 2$ (7) $y = x^2 - 2x + 5$ (8) $y = x^2 + 2x$ (9) $y = x^2 - 4x - 1$ (10) $y = x^2 + x - 5$

代数学二次関数平方完成
2025/7/29

1. 問題の内容

次の2次関数を平方完成しなさい。
(1) y=x2+3x−1y = x^2 + 3x - 1
(2) y=x2−x+2y = x^2 - x + 2
(3) y=x2+3x−2y = x^2 + 3x - 2
(4) y=x2−2x+5y = x^2 - 2x + 5
(5) y=x2−3x−3y = x^2 - 3x - 3
(6) y=x2+3x+2y = x^2 + 3x + 2
(7) y=x2−2x+5y = x^2 - 2x + 5
(8) y=x2+2xy = x^2 + 2x
(9) y=x2−4x−1y = x^2 - 4x - 1
(10) y=x2+x−5y = x^2 + x - 5

2. 解き方の手順

平方完成は、一般に y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c という形の2次関数を、y=a(x−p)2+qy = a(x-p)^2 + q という形に変形することです。
この変形を行うことで、頂点の座標 (p,q)(p, q) がすぐに分かります。
具体的な手順は以下の通りです。
(1) y=x2+3x−1y = x^2 + 3x - 1
y=(x+32)2−(32)2−1y = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 - 1
y=(x+32)2−94−44y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{4}{4}
y=(x+32)2−134y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}
(2) y=x2−x+2y = x^2 - x + 2
y=(x−12)2−(12)2+2y = (x - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 2
y=(x−12)2−14+84y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + \frac{8}{4}
y=(x−12)2+74y = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}
(3) y=x2+3x−2y = x^2 + 3x - 2
y=(x+32)2−(32)2−2y = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 - 2
y=(x+32)2−94−84y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{8}{4}
y=(x+32)2−174y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}
(4) y=x2−2x+5y = x^2 - 2x + 5
y=(x−1)2−12+5y = (x - 1)^2 - 1^2 + 5
y=(x−1)2−1+5y = (x - 1)^2 - 1 + 5
y=(x−1)2+4y = (x - 1)^2 + 4
(5) y=x2−3x−3y = x^2 - 3x - 3
y=(x−32)2−(32)2−3y = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 - 3
y=(x−32)2−94−124y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{12}{4}
y=(x−32)2−214y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{21}{4}
(6) y=x2+3x+2y = x^2 + 3x + 2
y=(x+32)2−(32)2+2y = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 2
y=(x+32)2−94+84y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{8}{4}
y=(x+32)2−14y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}
(7) y=x2−2x+5y = x^2 - 2x + 5
y=(x−1)2−12+5y = (x - 1)^2 - 1^2 + 5
y=(x−1)2−1+5y = (x - 1)^2 - 1 + 5
y=(x−1)2+4y = (x - 1)^2 + 4
(8) y=x2+2xy = x^2 + 2x
y=(x+1)2−12y = (x + 1)^2 - 1^2
y=(x+1)2−1y = (x + 1)^2 - 1
(9) y=x2−4x−1y = x^2 - 4x - 1
y=(x−2)2−22−1y = (x - 2)^2 - 2^2 - 1
y=(x−2)2−4−1y = (x - 2)^2 - 4 - 1
y=(x−2)2−5y = (x - 2)^2 - 5
(10) y=x2+x−5y = x^2 + x - 5
y=(x+12)2−(12)2−5y = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - 5
y=(x+12)2−14−204y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{20}{4}
y=(x+12)2−214y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{21}{4}

3. 最終的な答え

(1) y=(x+32)2−134y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}
(2) y=(x−12)2+74y = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}
(3) y=(x+32)2−174y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}
(4) y=(x−1)2+4y = (x - 1)^2 + 4
(5) y=(x−32)2−214y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{21}{4}
(6) y=(x+32)2−14y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}
(7) y=(x−1)2+4y = (x - 1)^2 + 4
(8) y=(x+1)2−1y = (x + 1)^2 - 1
(9) y=(x−2)2−5y = (x - 2)^2 - 5
(10) y=(x+12)2−214y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{21}{4}

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