画像に示された行列の対角化に関する問題で、空欄を埋める問題です。 - 対角化された行列 $P^{-1}AP$ の各成分 - 逆行列 $P^{-1}$ の各成分 - 行列 $A^2$ の各成分

1. 問題の内容

画像に示された行列の対角化に関する問題で、空欄を埋める問題です。

- 対角化された行列 $P^{-1}AP$ の各成分

- 逆行列 $P^{-1}$ の各成分

- 行列 $A^2$ の各成分

2. 解き方の手順

画像より、対角化された行列は、固有値を対角成分に持つ行列となるはずです。固有値が問題文中に $u_1 = u_2 = u_3 = 1$ と記述されているので、対角成分は全て1です。

よって、

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、オ、カ、キはすべて 1 です。

$P^{-1}$ の要素は画像に記載されています。

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

よって、ク = 1, ケ = 0, コ = 1

$A^2$ の要素を求めます。対角化を利用すると、 $A = PDP^{-1}$ なので、$A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD^2P^{-1}$ となります。 今回、Dは単位行列なので、$D^2$も単位行列です。したがって、$A^2 = PIP^{-1} = PP^{-1} = I$ (単位行列) となります。

よって、$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、サ=1, シ=0, ス=1

3. 最終的な答え

オ = 1, カ = 1, キ = 1

ク = 1, ケ = 0, コ = 1

サ = 1, シ = 0, ス = 1