$\int \sin^{-1}x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \sin^{-1}x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解くことができます。

まず、$u = \sin^{-1}x$ と $dv = dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ ですから、これに代入すると

$\int \sin^{-1}x \, dx = x \sin^{-1}x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

となります。次に、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

$w = 1-x^2$ とおくと、$dw = -2x \, dx$ より $x \, dx = -\frac{1}{2} dw$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{w}} dw = -\frac{1}{2} \int w^{-\frac{1}{2}} dw = -\frac{1}{2} \cdot 2 w^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

これを代入すると、

$\int \sin^{-1}x \, dx = x \sin^{-1}x - (-\sqrt{1-x^2}) + C = x \sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

$x \sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$