定積分 $\int_{1}^{2} xe^{x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} xe^{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を使って解くことができます。

まず、$u = x^2$ と置きます。

すると、$\frac{du}{dx} = 2x$ となり、$dx = \frac{du}{2x}$ となります。

したがって、$xe^{x^2} dx = xe^u \frac{du}{2x} = \frac{1}{2}e^u du$ となります。

次に、積分範囲を変換します。$x=1$ のとき $u = 1^2 = 1$ であり、$x=2$ のとき $u = 2^2 = 4$ です。

したがって、積分の式は次のようになります。

$\int_{1}^{2} xe^{x^2} dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{2}e^u du$

$\frac{1}{2}$ は定数なので、積分の外に出せます。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{2}e^u du = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^u du$

$e^u$ の積分は $e^u$ なので、

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_{1}^{4} = \frac{1}{2}(e^4 - e^1) = \frac{1}{2}(e^4 - e)$

3. 最終的な答え

$\frac{e^4 - e}{2}$