物体の位置 $x$ が $x = \sin(2t)$ で表されるとき、$t = \frac{\pi}{4}$ における物体の速度と加速度を求める。

1. 問題の内容

物体の位置 $x$ が $x = \sin(2t)$ で表されるとき、$t = \frac{\pi}{4}$ における物体の速度と加速度を求める。

2. 解き方の手順

まず、速度 $v$ を求める。速度は位置 $x$ を時間 $t$ で微分することで求められる。

$$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \sin(2t) = 2\cos(2t)$$

次に、$t = \frac{\pi}{4}$ を代入して速度を求める。

$$v\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 = 0$$

次に、加速度 $a$ を求める。加速度は速度 $v$ を時間 $t$ で微分することで求められる。

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2\cos(2t)) = -4\sin(2t)$$

次に、$t = \frac{\pi}{4}$ を代入して加速度を求める。

$$a\left(\frac{\pi}{4}\right) = -4\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 \cdot 1 = -4$$

3. 最終的な答え

$t = \frac{\pi}{4}$ における速度は 0、加速度は -4。