(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k + 2)$ と (2) $\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2)$ を、$\Sigma$ を使わずに各項を書き並べて表す問題です。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k + 2)$ と (2) $\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2)$ を、$\Sigma$ を使わずに各項を書き並べて表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k + 2)$

$\Sigma$ の定義に従い、$k$ に $1$ から $n$ までの整数を順に代入し、それらを足し合わせます。

$k=1$ のとき、$3(1) + 2 = 5$

$k=2$ のとき、$3(2) + 2 = 8$

$k=3$ のとき、$3(3) + 2 = 11$

...

$k=n$ のとき、$3(n) + 2 = 3n+2$

よって、$\sum_{k=1}^{n} (3k + 2) = 5 + 8 + 11 + \dots + (3n+2)$

(2) $\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2)$

$\Sigma$ の定義に従い、$k$ に $5$ から $8$ までの整数を順に代入し、それらを足し合わせます。

$k=5$ のとき、$(5+1)(5+2) = 6 \times 7 = 42$

$k=6$ のとき、$(6+1)(6+2) = 7 \times 8 = 56$

$k=7$ のとき、$(7+1)(7+2) = 8 \times 9 = 72$

$k=8$ のとき、$(8+1)(8+2) = 9 \times 10 = 90$

よって、$\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2) = 42 + 56 + 72 + 90$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k + 2) = 5 + 8 + 11 + \dots + (3n+2)$

(2) $\sum_{k=5}^{8} (k+1)(k+2) = 42 + 56 + 72 + 90$