$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を計算します。

まず、シグマの性質を使って式を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1) = \sum_{k=1}^{n} 6k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、定数倍の性質を使って、最初のシグマの定数を前に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 6k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1 = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を使います。

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1 = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n$

$6$ を約分します。

$6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = n(n+1)(2n+1) - n$

$n$ をくくり出します。

$n(n+1)(2n+1) - n = n((n+1)(2n+1) - 1)$

$(n+1)(2n+1)$ を展開します。

$n((n+1)(2n+1) - 1) = n(2n^2 + 3n + 1 - 1)$

$1$ を消します。

$n(2n^2 + 3n + 1 - 1) = n(2n^2 + 3n)$

最後に、$n$ を分配します。

$n(2n^2 + 3n) = 2n^3 + 3n^2$

3. 最終的な答え

$2n^3 + 3n^2$