2直線 $x=3$、$y=2$ を漸近線とする双曲線で、点 $(1, 1)$ を通る関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

2直線 $x=3$、$y=2$ を漸近線とする双曲線で、点 $(1, 1)$ を通る関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸近線から、関数の形を推測します。漸近線が $x=3$、$y=2$ であることから、関数は次のように表せます。

$y = \frac{a(x-3) + b}{c(x-3) + d} = \frac{k}{x-3} + 2$

ここで、$k$ は定数です。なぜなら、$x = 3$で定義できず、かつ$x$を無限大に飛ばすと$y$は2に近づくからです。

これは、$y = \frac{ax+b}{cx+d}$を変形した形です。つまり、$a/c = 2$ であり、$x=3$が漸近線であることから$cx + d = 0$ を満たす$x$の値が$x = 3$となるので、

$x = 3$を代入して、$3c + d = 0$が得られます。 $d=-3c$となります。

$y = \frac{ax+b}{cx-3c}$

$y = \frac{ax+b}{c(x-3)}$

また、$a/c = 2$なので、$a = 2c$

$y = \frac{2cx+b}{c(x-3)}$

次に、点 $(1, 1)$ を通ることから、$x=1$, $y=1$を代入します。

$1 = \frac{2c+b}{c(1-3)}$

$1 = \frac{2c+b}{-2c}$

$-2c = 2c + b$

$b = -4c$

したがって、関数は次のようになります。

$y = \frac{2cx - 4c}{c(x-3)}$

$y = \frac{2x-4}{x-3}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$