関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

逆関数の定義より、$f^{-1}(1) = 2$ ならば $f(2) = 1$ であり、$f^{-1}(3) = 0$ ならば $f(0) = 3$ である。

これらを利用して、連立方程式を立てて $a, b$ を求める。

まず、$f(2) = 1$ より

$f(2) = \frac{2b-3}{2+a} = 1$

$2b - 3 = 2 + a$

$2b - a = 5$ ...(1)

次に、$f(0) = 3$ より

$f(0) = \frac{b \cdot 0 - 3}{0+a} = 3$

$\frac{-3}{a} = 3$

$-3 = 3a$

$a = -1$ ...(2)

(2) を (1) に代入すると

$2b - (-1) = 5$

$2b + 1 = 5$

$2b = 4$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 2$