関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数を求めます。

$x$ と $y$ を入れ替えて、$x = \frac{ay+1}{y+2}$ とします。

この式を $y$ について解きます。

$x(y+2) = ay+1$

$xy+2x = ay+1$

$xy - ay = 1-2x$

$y(x-a) = 1-2x$

$y = \frac{1-2x}{x-a}$

逆関数が元の関数と一致するため、

$\frac{ax+1}{x+2} = \frac{1-2x}{x-a}$

が成り立ちます。

$x$ の恒等式として解くために、

$(ax+1)(x-a) = (1-2x)(x+2)$

$ax^2 - a^2x + x - a = x + 2 - 2x^2 - 4x$

$ax^2 - a^2x + x - a = -2x^2 -3x + 2$

両辺の係数を比較して、

$ax^2 = -2x^2$ より、$a = -2$

$-a^2x = -3x$ より、$a^2 = 3$

$x = x$

$-a = 2$ より、$a = -2$

$a = -2$ を確認するために代入します。

$(-2x+1)(x+2)=(1-2x)(x+2)$

よって、$a=-2$が解です。

3. 最終的な答え

$a = -2$