2つの関数 $f(x) = \frac{2}{x}$ と $g(x) = 3x^2 + 1$ について、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = \frac{2}{x}$ と $g(x) = 3x^2 + 1$ について、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(g \circ f)(x)$ を求める。

合成関数の定義より、$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ である。

$f(x) = \frac{2}{x}$ を $g(x)$ に代入すると、

$$g(f(x)) = g\left(\frac{2}{x}\right) = 3\left(\frac{2}{x}\right)^2 + 1 = 3\left(\frac{4}{x^2}\right) + 1 = \frac{12}{x^2} + 1$$

したがって、$(g \circ f)(x) = \frac{12}{x^2} + 1$

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。

合成関数の定義より、$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ である。

$g(x) = 3x^2 + 1$ を $f(x)$ に代入すると、

$$f(g(x)) = f(3x^2 + 1) = \frac{2}{3x^2 + 1}$$

したがって、$(f \circ g)(x) = \frac{2}{3x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = \frac{12}{x^2} + 1$

$(f \circ g)(x) = \frac{2}{3x^2 + 1}$