関数 $y = \frac{x-1}{x-2}$ の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x-2}$ の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

逆関数を求めるには、$x$ と $y$ を入れ替えて、$y$ について解きます。

まず、$y = \frac{x-1}{x-2}$ で $x$ と $y$ を入れ替えます。

$$x = \frac{y-1}{y-2}$$

次に、この式を $y$ について解きます。

両辺に $(y-2)$ を掛けて、

$$x(y-2) = y-1$$

$$xy - 2x = y - 1$$

$y$ を含む項を左辺に、それ以外を右辺に移項します。

$$xy - y = 2x - 1$$

左辺を $y$ でくくります。

$$y(x-1) = 2x - 1$$

両辺を $(x-1)$ で割ります。

$$y = \frac{2x-1}{x-1}$$

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-1}{x-1}$