関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(f^{-1}(x))=x$ となることを利用する。

$f(f^{-1}(x)) = f(\frac{3x+4}{bx+2}) = \frac{2(\frac{3x+4}{bx+2}) + a}{\frac{3x+4}{bx+2} + 3} = \frac{2(3x+4) + a(bx+2)}{3x+4 + 3(bx+2)} = \frac{6x+8+abx+2a}{3x+4+3bx+6} = \frac{(6+ab)x + (8+2a)}{(3+3b)x + 10} = x$

この式が $x$ と等しくなるためには、以下の条件が必要となる。

$\frac{(6+ab)x + (8+2a)}{(3+3b)x + 10} = x$

$(6+ab)x + (8+2a) = x((3+3b)x + 10)$

$(6+ab)x + (8+2a) = (3+3b)x^2 + 10x$

左辺と右辺が等しくなるには、右辺の $x^2$ の係数が $0$ でなければならない。 つまり、$3+3b=0$ が必要である。

$3+3b = 0$ より、

$3b = -3$

$b = -1$

$b=-1$ を代入して、 $f(f^{-1}(x))=x$ を計算すると、

$\frac{(6-a)x + (8+2a)}{(3-3)x + 10} = x$

$\frac{(6-a)x + (8+2a)}{10} = x$

$(6-a)x + (8+2a) = 10x$

係数を比較すると、

$6-a = 10$ より、 $a = -4$

$8+2a = 0$ より、 $2a = -8$ , $a = -4$

したがって、$a = -4$, $b = -1$

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -1$