関数 $y = \frac{2x + 1}{x - p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x + 1}{x - p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

逆関数を求め、それが元の関数と一致する条件を考えます。

まず、与えられた関数を $x$ について解きます。

$y = \frac{2x + 1}{x - p}$

$y(x - p) = 2x + 1$

$yx - py = 2x + 1$

$yx - 2x = py + 1$

$x(y - 2) = py + 1$

$x = \frac{py + 1}{y - 2}$

したがって、逆関数は $x$ と $y$ を入れ替えて、

$y = \frac{px + 1}{x - 2}$

逆関数が元の関数と一致するということは、

$\frac{2x + 1}{x - p} = \frac{px + 1}{x - 2}$

が成り立つということです。

これは恒等式なので、係数を比較して解くことができます。

$2x + 1$ と $px + 1$ を比較すると、$p = 2$ となります。

$x - p$ と $x - 2$ を比較すると、$p = 2$ となります。

したがって、$p = 2$ が条件を満たす可能性があります。

次に、$\frac{2x + 1}{x - p} = \frac{px + 1}{x - 2}$ が $p=2$ で成り立つか確認します。

$p = 2$ のとき、$\frac{2x + 1}{x - 2} = \frac{2x + 1}{x - 2}$ となり、これは明らかに成り立ちます。

あるいは、$\frac{2x+1}{x-p}$の逆関数が$\frac{px+1}{x-2}$であるとき、$\frac{2x+1}{x-p}=\frac{px+1}{x-2}$が成り立つ必要がある。

このとき、分子と分母を比較すると、

$2x+1=px+1$より$p=2$

$x-p=x-2$より$p=2$

よって、$p=2$

3. 最終的な答え

$p = 2$