関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ を満たす定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ を満たす定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

逆関数の性質 $y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)$ を用いる。

与えられた条件 $f^{-1}(1) = 2$ より $f(2) = 1$ が成り立つ。

$f(2) = \frac{2b-3}{2+a} = 1$ より、

$2b-3 = 2+a$

$a = 2b - 5$ ...(1)

また、与えられた条件 $f^{-1}(3) = 0$ より $f(0) = 3$ が成り立つ。

$f(0) = \frac{b(0)-3}{0+a} = \frac{-3}{a} = 3$ より、

$a = -1$ ...(2)

(1)と(2)より、

$-1 = 2b - 5$

$2b = 4$

$b = 2$

したがって、$a = -1$, $b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 2$