2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と接するとき、判別式 $D$ は $D=0$ となる。

与えられた2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x + 4$ の判別式 $D$ は、

$D = (-2(a-1))^2 - 4(1)(4)$

$D = 4(a-1)^2 - 16$

$D = 4(a^2 - 2a + 1) - 16$

$D = 4a^2 - 8a + 4 - 16$

$D = 4a^2 - 8a - 12$

$x$ 軸と接するとき $D = 0$ より、

$4a^2 - 8a - 12 = 0$

両辺を4で割ると、

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

よって、$a = 3, -1$

3. 最終的な答え

$a = 3, -1$